王崇庆看着庞学林的装扮,皱了皱眉,说道:“同学,这道题,你来解吧!”
庞学林点了点头,看着黑板上的题目。
【设E,F是两个Banach空间,令A:D(A)??E→F为一个闭算子,且D(A)??=E。求证:D(A??)??σ(F′,F)=F′D(A??)??σ(F′,F)=F′。
其中A??是A的伴随算子,F′是F的对偶空间,σ(F′,F)为F′上的弱*拓扑,D(A??)??σ(F′,F)表示D(A??)在弱*拓扑σ(F′,F)下的闭包。】
将题目浏览完,庞学林几乎没怎么思考,直接开始在下面写下答案。
【结论1:设F是E的子向量空间满足F??≠E.则存在f∈E'不为0,使得(f,x)=0,??x∈F。
结论2:设??:E′→R是线性映射,且对拓扑σ(E′,E)连续,则存在x∈E使得??(f)=(f,x),??f∈E′。
证明:设??是F′上对拓扑σ(F′,F)连续的线性泛函,在D(A??)上取值为0。由结论1,为证弱*拓扑下的稠密性,只需证明??≡0。
由结论2,存在x∈F使得……】
庞学林的书写速度很快,整个证明过程几乎没怎么停顿,只用了不到两分钟,就完成了答题工作。
“老师,答完了,应该没什么问题吧?”
王崇庆有些出神,这道题在泛函分析中,算的上是压轴大题了,对本科生而言,有一定难度。
他原本都准备等庞学林答不出来的时候,再好好教训他一番,可没想到到这家伙的基础似乎还不错,竟然眨眼间就给出了证明。
无论是证明思路还是过程,都简洁明了,几乎无懈可击。
台下,也响起了学生们的议论声。
“这家伙到底是谁啊,深藏不漏呀!”
“这道题我一直没什么思路,没想到他竟然这么快就给解出来了。”
“看样子我们数学系牛人还挺多的。”
……
不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。
王崇庆脸色微沉,上课睡觉,就算成绩再好也不行,他可不想轻易放过这家伙。
他想了想,说道:“这位同学,看来你的基础不错,那你就给大家讲讲,你对泛函分析这门课的理解吧。”
泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程,这也是它难学的原因,就算让一位博士上台,也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。
王崇庆嘴角微微翘起,他可不相信一个本科生有这样的能耐。
“老师,你确定……让我来讲课?”
庞学林笑了起来。
“确定!”
王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异,不过他还是点了点头。
庞学林道:“既然如此,那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”
“众所周知,泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期,本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说,数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了,特别是把它和调和分析放在一起的时候,很难分清楚什么叫做调和分析,什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义,而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析,尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化,使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、Fredholm,Hilbert关于积分方程的工作;二、Volterra和Hadamard关于动量问题的研究;三、Lebesgue,Frechet和Riesz在抽象空间上的工作以及最后,Hahn和Banach关于对偶这个概念的研究……”
请收藏:https://m.dm111.cc
(温馨提示:请关闭畅读或阅读模式,否则内容无法正常显示)